Geometria na Bordalo

IV CURSO DE VERÃO

2010-06-10T23:32:00.007+02:00

É já na próxima 3ª Feira, dia 15 de Junho, que se iniciam as actividades do IV Curso de Verão de GD.
Para os 20 alunos e alunas inscritos será uma oportunidade excelente para recuperar, aprofundar e desenvolver aprendizagens que serão determinantes do seu sucesso no próximo ano.
Mas não esqueceremos o convívio....claro.
É o "espírito GD" em marcha.
Durante o Curso vamos reanimar aqui o Blog com postings diários, com imagens e comentários em reportagem do trabalho desenvolvido.

2009-05-10T20:17:00.005+02:00

Está em grande ritmo de preparação a actividade "GD - O Espaço Aberto", que é a nossa modesta contribuição para a semana da "Viva a Escola Viva".
O programa é aliciante e o Jaime produziu os magníficos cartazes que anunciam as actividades dos três dias, que são:

Este workshop será administrado e gerido pelo incansável Jaime Martins. Destina-se à formação de alunos e professores interessados em aprender a construir modelos virtuais no contexto da geometria. É uma óptima ferramenta de estudo para estudantes de GD. Os interessados só precisam de levar os seus portáteis ou combinar a sua associação em pequeno grupo (1 computador, 3 pessoas). O software é livre (obrigado Google) e pode ser descarregado directamente através da net....ou da pen do Jaime. Eu já estou inscrito....

A modelação real dos problemas espaciais é um excelente meio para a compreensão desses problemas. A actividade será constituida por desafios problemáticos que os alunos resolverão utilizando os nossos materiais da aula (cartões, espetos, sólidos....). A modelação irá sendo fotografada para a produção de materiais para publicar aqui no blog.
A modelação virtual tem o mesmo objectivo que a real. Mas é uma oportunidade para se pôr em prática o Sketchup. Os materiais produzidos também serão "postados" aqui no blog.

Uma semana de "boa vida" para quem tem exame este ano....é um luxo perigoso. A "oficina" destina-se aos alunos que não se querem dar a esse arriscado luxo...podem, por isso, trazer as suas dificuldades para "reparação" (3 manhãs dão para resolver muita coisa)...dificuldades ,de preferência, concretas para que se possa maximizar o tempo disponível.

"At last, but not least"....os alunos do 1º ano estão a preparar uma actividade verdadeiramente fantástica e emocionante. Sob a direcção da Sara (uma aluna que este ano se distraiu com a GD mas que para o ano vai apostar no 20), vai ser produzido um vídeo verdadeiramente incrível e, por certo, um forte candidato a um "oscar" nas "curtas"....nada mais, nada menos do que a a GD explicada às Barbies pelo Ken "Perneta"....a história ainda está no segredo dos deuses, mas o enredo promete....

Vamos ter...como se vê...uma emocionante, variada, rica e divertida semana de trabalho.

2009-04-20T22:19:00.001+02:00

A Hora GD de hoje tem como agenda:

1º Ano - Fazer os exercícios deixados na aula de hoje;

2º Ano - Acabar a aplicação com a sombra do círculo para os que a não resolveram na aula passada.

Amanhã iniciamos (2º Ano) o estudo das sombras dos sólidos.

Como aperitivo...esta magnífica contribuição do Jaime, que está a ficar um verdadeiro mestre nesta ferramenta 3D (acho mesmo que vai ser a vedeta do Curso de Verão)

2009-02-09T12:37:00.002+01:00

Como amanhã há teste para ambas as turmas o trabalho da "Hora GD" para hoje é:

Dar uma vista de olhos rápida aos problemas resolvidos anteriormente, e;

Deitar cedo.....

Entretanto experimentem ver esta pequena maravilha realizada pelo Jaime do 11ºC....um dos últimos problemas resolvidos em aula posto numa animação tridimensional.

Dá gosto, não dá?
O nosso agradecimento colectivo ao Jaime.....

http://www.youtube.com/watch?v=9e5xvsWkOxU

"Hora GD"

2009-01-26T18:38:00.006+01:00

Então, para hoje:

1º Ano:

Concluir a aplicação iniciada na aula.

2º Ano:

Resolver o seguinte problema de ângulos.

Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos alfa e beta.

Dados

- o plano alfa é vertical, faz um diedro de 45º com o plano fronta de projecção (com abertura à direita) e intersecta o eixo x num ponto A, com 4 de abcissa;

- os traços do plano beta fazem, ambos, ângulos de 60º com o eixo x (o horizontal com abertura à esquerda e o frontal com abertura à direita) e são concorrentes num ponto B, com -4 de abcissa.

(Exame de 2003)

Para as dúvidas e dificuldades o contacto do costume: pereiradasilva1...no Skype

Bom trabalho!!!

"Hora GD" de hoje

2009-01-19T20:26:00.003+01:00

Para o 1º Ano

Para os alunos em geral...concluir os problemas da aula de hoje e estudar a tipologia da recta e do plano

Para o João.....resolver aquelas "coisas" atrasadas....

Para o 2º Ano

"Alinhar" as dúvidas para as aulas de apoio....e uma "provocaçãozinha":

Determinar o ângulo entre dois planos sendo:

- alfa, de rampa passante, definido por P(3; 4);
- beta, oblíquo q.q. ortogonal ao beta2,4

Bom trabalho!!!

Para esclarecimento de dúvidas...no sítio do costume - pereiradasilva1, no Skype

Trabalho para hoje

2009-01-12T20:17:00.004+01:00

1º Ano (10ºF/10ºH)

Não esquecer qua a Hora de hoje é dedicada à reciclagem e à EcoGD....construindo materiais a partir de cartões de embalagem (para simular os PP e planos) e clips (para simular rectas). A partir dos modelos...estudar/rever as tipologias da recta e do plano.

2º Ano (11ºB/11ºC/12ºB)

Um exercício simples...para testar o raciocínio.... e um mais estimulante:

Determinar o ângulo de duas rectas, r e s, sendo:

1. r definida por A(0; 5; -1) e B(-3; 0; 6); s, de topo, de abcissa e cota 4.

2. r, passante em N(0; 0; 0) e a que pertence A(-4; 0; 5); s, de perfil passante em M(-6; 0; 0) e concorrente com r.

Cá fico à vossa espera no sítio dos costume...pereiradasilva1 no Skype...para as eventuais dúvidas que possam surgir.

Bom trabalho!!!

Reinício das actividades do blog

2009-01-05T19:53:00.009+01:00

Caros alunos
Vamos reactivar as nossas actividades aqui no blog....e hoje já vai funcionar a "Hora GD" com a turma do 1º ano. Como a maioria dos alunos, desta turma, tem net a partir de casa, espero uma grande adesão à hora de estudo e muita interactividade no Skype.

Um novo exercício para hoje, se já tiverem concluído todos os que foram propostos na aula:

Sendo dado um plano oblíquo (q.q.) definido pelos seus traços represente pelas suas projecções a recta de maior declive do plano que contém o ponto P(-2; 1)

As imagens recordam-nos:

que as rectas de maior declive são perpendiculares ao traço horizontal do plano;
que um ponto do plano fica definido pela intersecção de n e f.

Para além desta aplicação (muito simples)....estudar as tipologias da recta e do plano.

Bom trabalho e...amanhã às 8:20 lá estaremos...felizes como sempre.

Reinício da "Hora GD"

2007-10-15T22:04:00.001+02:00

A pedido dos alunos do 11ºD/12ºA damos hoje início à "21-22, Hora GD".

Para os que quiserem fazer aplicações sobre a matéria da aula de hoje, sobre a Mudança dos Planos de Projecção;

Sendo r, oblíqua, definida por dois pontos quaisquer utilizar as MP para reposicionar a recta:

de perfil;
de topo;
vertical.

Ajuda.....só 1 é resoluvel com uma única MP; 2 e 3 exigem 2 MP

Bom trabalho.... se precisarem de apoio estou em pereiradasilva1, no Skype

Boasvindas

2007-09-24T19:14:00.000+02:00

Bemvindos a mais um ano de trabalho intenso.
Este ano o Blogue será dedicado às duas turmas - 1º e 2º anos - de GDA.
Apoiar a manutenção de expectativas elevadas é uma das finalidades do Blogue. A outra é contribuir para que bons resultados confirmem essas expectativas.

Bom Trabalho

Os meus contactos para este ano são:

pereiradasilva@esrbp.pt para e-mail

pereiradasilva1 para o Skype, que se mantém.

Fim de Festa

2007-07-15T23:48:00.000+02:00

PARABÉNS AO ZÉ DIOGO E AO PEDRO FERREIRA PELOS BRILHANTES

20 !!!!!!!!!

NO EXAME NACIONAL

E, TAMBÉM, A TODOS AS/OS QUE SE ESFORÇARAM E QUE CONSEGUIRAM SUPERAR DIFICULDADES E EXPECTATIVAS

AOS OUTROS/AS UM ABRAÇO SOLIDÁRIO

BOAS FÉRIAS PARA TODOS

PARA O ANO HÁ MAIS....

TRABALHO, CLARO !!!!!!

Está quase.......

2007-05-24T00:28:00.000+02:00

Isto chegou ao fim num instante.
A partir de agora o blog vai ficar aberto para a preparação dos exames da GD-A.
Podem deixar as vossas dúvidas e eu tentarei responder tão cedo quanto possível.
O Blog teve acessos de muita gente que não conheço. A eles estende-se, igualmente, o convite.

10º F - Operação "21-22 Hora GD

2007-04-23T16:49:00.000+02:00

Depois do descanso, voltemos ao trabalho

Aplicações para hoje:

Dada a recta r, que é de maior declive de alfa, determine:

Os traços do plano;
O Ponto R(2; 4);
A recta p, perpendicular ao Plano, que contém P(-6; 0; 4).

À recta r, pertencem A(0; 2; 0) e B(-2; 0; 7)

Bom trabalho.

Estou no Skype em pereiradasilva1 e no e-mail jmpereiradasilva@gmail.com

10º F - Operação "21- 22 Hora GD"

2007-03-05T21:36:00.000+01:00

Problema para hoje:

Considere a recta r a que pertencem A(5; 1; 6) e B(1; 5; -1) e :

Faça o estudo da recta;
Represente pelos seus traços alfa, de rampa;
Determine a intersecção de alfa com gama, também de rampa e cujos traços têm em relação aos de alfa; +2 cm de afastamento; -1 cm de cota.

Bom trabalho. Para qualquer dúvida ... nos locais habituais e gmail e skype

10º F - Operação "21- 22 Hora GD"

2007-02-26T21:40:00.000+01:00

Para hoje - porque há Benfica - o trabalho consiste apenas na consulta dos "posts" de Outubro (atenção que são 2) dedicados ao método geral da intersecção de planos.
Bom trabalho e até amanhã.

Até às 22:00h estou no contactos do costume para qualquer dúvida.

10º F - Operação "21- 22 Hora GD"

2007-01-29T19:49:00.000+01:00

Então para hoje temos revisões sobre a tipologia do plano e rectas do plano. A intenção é começarmos bem preparados as aulas que se seguem e nas quais vamos estudar a intersecção de planos.

Na figura há cinco diferentes tipos de planos e o exercício consiste:

Na identificação do plano;

Na representação:

a) de duas rectas concorrentes para as figuras ímpares

b) de duas rectas paralelas para as figuras pares.

Qualquer dúvida ...... contactem pelas vias normais.

Bom trabalho.

10º F - Operação "21- 22 Hora GD"

2007-01-22T19:15:00.000+01:00

Hoje temos só um problema .... com três alíneas, claro!
A ideia é: 1º - conseguir resolvê-lo; 2º - não demorar mais do que 1 hora.

Vamos lá, então:

Sendo a recta d, de maior declive de alfa, definida pelos pontos A(4; -1; -5) e B(2; -3; -2):

Faça o estudo da recta;
Determine os traços do Plano;
Determine P, de alfa e do Plano Bissector dos Quadrantes Ímpares, de cota 3.

Bom trabalho e já sabem .... para qualquer dificuldade estou nos sítios do costume - skipe (pereiradasilva1) e gmail (jmpereiradasilva@gmail.com).

10º F - Operação "21- 22 Hora GD"

2007-01-15T19:42:00.000+01:00

Trabalhinho para hoje ... (para além, claro, dos dois problemas da semana passada para os que não os resolveram

Exercício sobre matéria anterior: rectas do plano:

- Represente duas rectas paralelas dum plano de rampa cujos traços têm 5 de cota e 4 de afastamento;

Nota: quem achar o problema demasiaso fácil considere ambas as cordenadas negativas.

Sobre matéria actual:

-O plano de rampa beta está definido pela recta r a que pertencem A(0; 5; 1) e B(-4; 6; -1):

-Determine P, ponto do plano de abcissa 2 e cota 3;

- Por P faça passar uma recta t, paralela a r

Bom trabalho.

10º F - Operação "21- 22 Hora GD"

2007-01-08T21:54:00.000+01:00

Quero ver quem assume compromissos ....

Então para hoje:

Exercício de revisão:

-Faça o estudo da recta r a que pertencem A(0; -5; -1) e B(-4; 0; -2)

Exercício actual:

- Determine P(3; -1) que pertence a alfa cujos traços estão definidos:

- o horizontal por N(0; 0; 0) e H(-3; 4; 0);
- o vertical por N(0; 0; 0) e V (-3; 0; 3)

Bom trabalho e fico à espera....

Já agora, o meu endereço skype é pereiradasilva1

10ºE Rectas de Frente e Nível

2006-12-08T22:58:00.000+01:00

As rectas de nível (ou horizontais) e de frente (ou frontais) dos planos são rectas "notáveis". Este modelo - que estudámos em aula - permite-nos verificar:

- que as rectas de nível - como a recta n - são paralelas ao traço horizontal do plano já que este também é uma recta de nível (de cota 0); estas rectas são lugares geométricos dos pontos do Plano com uma determinada cota;

- que as rectas de frente - como a recta f - são paralelas ao traço vertical (ou frontal) do plano já que este também é uma recta de frente (de afastamento 0); estas rectas são lugares geométricos dos pontos do Plano com um determinado afastamento.

Podemos, por isso, utilizar estas rectas para a determinação de qualquer ponto do Plano, de afastamento e cota dados, como veremos na próxima aula.

11ºC/12ºA Distância entre Planos - conclusão

2006-11-16T23:16:00.000+01:00

Ora cá está .... depois de determinado o segmento BI é só determinar a sua v.g. com uma simples mudança de planos

11ºC/12ºA Distância entre Planos

2006-11-16T19:33:00.000+01:00

A pedido do André Dias e porque hoje estou bem disposto.

Resolução da aplicação da aula passada.
Pretende-se a determinação da distância entre dois Planos paralelos alfa e beta; alfa está definido por uma sua recta de maior declive; beta é dado por um ponto.
1ª hipótese de resolução - considerando os traços dos Planos (convenhamos que é fraquinha ... os craques vão lá com as rectas de frente e nível até porque os traços dos planos podem não estar nos limites do desenho. O André vai pagar esta postagem com essa aplicação.)

Então, a partir dos dados determinamos os traços de alfa;

Se beta é paralelo a alfa as rectas de nível dos planos também são paralelas; por C passamos uma recta de nível que nos permite determinar os traços de beta;

Para determinarmos a distância entre os planos vamos utilizar uma recta que lhes seja ortogonal, já que a distância entre os planos fica determinada pelo segmento cujos extremos são os pontos de intersecção dessa recta com os planos; como - muito inteligentemente - o Bruno observou na aula, se essa recta passar por um dos pontos de qualquer dos planos, uma das intersecções fica determinada ... é menos trabalho; eu optei por passá-la por B, de alfa;

Reparem que como as projecções de p têm que ser ortogonais aos traços dos planos (condição da recta ortogonal a um plano) p1 fica coincidente com d1 ... é só poupar; agora só temos que determinar a intersecção de p com beta; recorrendo ao método (há aí uma postagem sobre isso) utilizei o plano vertical que é projectante de p;

Agora é só determinar a intersecção;

Com esta determinada, temos o segmento BI cuja verdadeira grandeza - com uma simples mudança de planos .... (como veremos noutra postagem que esta já não admite mais imagens ....)

Atenção 11ºC/12ºA

2006-11-09T19:21:00.000+01:00

Eu sei que estão todos muito tristes por hoje não ter havido aula. Como é provável que amanhã também não haja, o teste fica adiado para a próxima 3ª feira...

Até lá e porque não quero que vos falte nada ...ou morram de tédio ... vai um novo exercício que é uma variante do anterior (a propósito, alguém já o resolveu?)

Defina beta, passante, que é ortogonal a alfa dado por i, de maior inclinação, a que pertencem A(0; 5; 1) e B(-3; 1; 3).

Nota: como beta é passante fica definido por um ponto ou por uma qualquer recta.

A mesma observação que para o anterior .... se começarem a deitar fumo ....

11ºE Mudança de Planos

2006-11-06T23:46:00.000+01:00

Recapitulando a aula de hoje...

Em GD a resolução de determinado tipo de problemas, como a determinação de verdadeiras grandezas, em geral, tem que ser realizada com operações que se designam, habitualmente, por métodos auxiliares.
As Mudanças dos Planos de Projecção, as Rotações e os Rebatimentos (caso particular das Rotações) são as variantes desses métodos.

Na aula de hoje vimos, na generalidade, em que consistem esses métodos e começámos a desenvolver o método da Mudança de Planos.

Na imagem seguinte podemos constatar que a verdadeira grandeza (v.g.) de qualquer segmento que pertencesse a r não seria legível nas suas projecções já que a recta é oblíqua.

Também vimos que a v.g. só é "legível" em projecção num Plano a que a recta seja paralela. Se, por exemplo, a recta estiver de nível ou de frente.
Vamos alterar, então, a posição da recta relativamente aos Planos de Projecção para que fique, por exemplo, de frente - ou seja, paralela ao PVP.
Temos, por isso que mudar o PVP para uma nova posição tal que a recta lhe seja paralela.
Quando suprimimos o PVP- imagem seguinte - repare que mantemos tudo o que relaciona a recta com o PHP - a sua projecção horizontal e a sua cota não se alteram ...

Por uma questão de referência visual mantivemos o eixo x original

A próxima imagem já nos mostra o PVP na posição em que o queremos - paralelo à recta ...

Note-se, agora, que temos "coisas novas":

um novo eixo dos x - x';
uma nova projecção vertical (r4);
o afastamento da recta, que é agora constante.

Com esta operação a projecção vertical de q.q segmento que pertença à recta pode se "lido" em v.g..

Na próxima imagem, o "boneco" do quadro com a mesma operação em DPO

Alguém se lembra porque é que a nova projecção da recta se designa por r4?
Então que responda num comentário (vale pontos)
Bom trabalho

Mais um Prof "bloguista"

2006-11-05T02:33:00.000+01:00

Era bom que a moda pegasse ...
Pois é, mais um Prof. da Bordalo com blog de apoio aos alunos.
Mesmo que não tenham a disciplina de Geografia vale a pena visitarem o http://geografianabordalo.blogspot.com do Prof António José Xavier. Está bom e interessante .... e propõe discussão de questões actuais.

Com pequenas coisas se vão construindo futuros sólidos ...

11ºC/12ºA Novo problema

2006-11-03T17:09:00.000+01:00

Este também é giro ...... e mais fácil do que o que fizemos em aula.

Represente pelos seus traços um plano oblíquo, gama, perpendicular a alfa, passante, sendo:

alfa definido por A(0; 4; 2);
gama a que pertence G(-5; 6;5) e cujo traço horizontal faz com x 45º a.p.d.

Já agora e começando a aquecer os motores para os problemas métricos que são já...já a seguir:

que ângulo fará gama com o P.H.P? .... eu sei que é chato, mas como vai estar mau tempo .... e com o P.V.P.?

Só para ajudar, a solução é simples .... se começarem a deitar fumo é porque estão longe ...

Bom fim-de-semana!

11ºE - Aula de hoje

2006-10-30T23:26:00.000+01:00

Como pediram, um resumo da aula de hoje

Intersecção da recta com o plano
Como vimos, a determinação do ponto de intersecção de r com alfa não tem solução directa em DPO quando o plano não é projectante.

Utilizamos, por isso, um método geral de resolução que consiste em considerar um qualquer plano que contenha a recta; determinamos a recta de intersecção dos dois planos (o que eu penso que já sabemos fazer muito bem, como se provará no próximo teste); a intersecção das duas rectas define o ponto

Claro que não vamos utilizar um plano qualquer como auxiliar; a economia dos traçados aconselha-nos o recurso a planos projectantes da recta; no exemplo da aula ... um plano de topo

Para o feriado, a minha oferta do "pão-por-Deus":

Determine a intersecção de r e alfa sendo:

r definida por A(0; 5; 6) e B(-3; 1; 3) e perpendicular a alfa;
alfa a que pertence N(6; 0; 0)

11C/12A Parabéns ao Bruno

2006-10-28T00:27:00.000+02:00

Então e não é que o Bruno Silva ganhou mesmo o pequeno almoço?!
Resolveu, brilhantemente, o problema proposto e não foi nada somítico pois optou, como bom fanático da GD que começa a ser, por um octógono.
Viva o Bruno!
O Zé Diogo esteve perto. Apresentou uma solução correcta mas.... distraiu-se e considerou que a diagonal era de maior declive. Para a próxima palpita-me que vai estar mais atento...

Bom fim-de-semana

Atenção 10ºF

2006-10-26T18:54:00.000+02:00

Como a Protecção Civil previne para a continuação do mau tempo, o melhor é ficarem em casa durante o fim-de-semana a praticar o estudo da recta. Como, por exemplo:

Represente pelas suas projecções e faça o estudo das rectas:

a, definida por A(0; -1; 5), B(-4; -3; 1);
b, C(-4; -3; 7), D(-7; -3; 2)
c, E(5; 6; -2), F(1; -1; -2).

Bom trabalho.

11ºC/12ºA Rebatimentos sobre planos de nível ou de frente

2006-10-26T18:39:00.000+02:00

Para os que hoje não foram à aula ... mais um "petisco" para treino:

Determinar pelas suas projecções um pentágono regular (aceitam-se todas as variantes - hexágonos, heptágonos, octógonos ou eneágonos -que os fanáticos queiram apresentar). Dados, os que quiserem desde que:

considerem que apenas conhecem do polígono uma diagonal (sejam generosos e façam-na com pelo menos 5cm em projecção) e desde que esta, sendo oblíqua, seja de maior inclinação do plano.

Divirtam-se e até amanhã.

P.S: - Quem amanhã se apresentar em aula (às 8:20, claro) com o problema resolvido tem direito a pequeno almoço (continental) no bar.

11ºC/12A - Exercício do Hexágono

2006-10-26T17:48:00.000+02:00

Lembrando os dados: pedia-se a representação dum hexágono regular pertencente a um plano oblíquo perpendicular ao beta,24 - dado por dois pontos - e do qual se dá: o lado com 4cm; os vértices A e B que pertencem ao PHP e o vértice C que pertence ao PVP.

Traçado o plano optou-se por fazer o seu rebatimento sobre o PHP; como o vértice C pertence ao traço vertical do plano temos que rebatê-lo, rebatendo V;

Para representarmos o hexágono (em v.g.) podíamos recorrer a diferentes técnicas:

os que possuem esquadros com transferidor fá-lo-iam deslizar com 120º ao longo da charneira até determinarem C;
podia construir-se um triângulo equilátero nas condições do hexágono e tomar graficamente a medida do apótema, ou;
aplicar os conhecimentos de trigonometria (como vêem uma poderosa ferramenta) e determinar a mesma medida já que OM é igual a AM x tg60 (aprox. 1,73) o que daria 3,46;

Construído o hexágono procedemos à inversão do rebatimento;

Ponto por ponto ...

Até ao agradável resultado final. (Uff...)

Atenção - Atelier de Geometria

2006-10-25T00:37:00.000+02:00

Para os mais distraídos e para que não hajam desculpas, o horário do Atelier de Geometria (para apoio dos que têm dificuldades ou dos que querem ir para o 20 (valentes) é o seguinte:

2ª Feira - das 15:15 às 17:00
4ª Feira - das 08:20 às 09:50
6ª Feira - das 10:10 às 11:45

10º F - Estudo da Recta

2006-10-25T00:08:00.000+02:00

Para não esquecer a aula de hoje.

Fazer o estudo da recta é verificar o seu percurso no espaço. Neste caso, que abordámos hoje na aula, podemos verificar que a recta - "lendo" da esquerda para a direita - passa pelos 4º, 3º, 2º, 1º, 8º e 7º Octantes.

Reparem que podemos "ler" a mudança de octante pelos pontos de passagem pelos betas e pelos Planos de Projecção.

Como vimos estes pontos - traços da recta nesses planos - são pontos característicos - notáveis - da recta. Assim:

O traço no beta2,4 (Ir) é o ponto que tem cota e afastamento iguais - em valor absoluto - mas, de acordo com o Diedro, se uma coordenada é positiva a outra é negativa. São, por isso, pontos cujas projecções são coincidentes;
O traço no PVP (Vr) é o ponto de afastamento 0 da recta;
O traço em beta1,3 (Qr) é o ponto que tem cota e afastamento iguais - em valor absoluto - mas, de acordo com o Diedro, as coordenadas ou são ambas positivas ou ambas negativas. São, por isso, pontos cujas projecções são simétricas;
O traço no PHP (Hr) é o ponto de cota 0 da recta.

Sugestão de trabalho até à próxima aula: tentar fazer o estudo das rectas representadas na aula de hoje.

Quem conseguir (sem ajuda) descobrir um processo fácil de determinar Qr tem direito a prémio.

Bom trabalho.

11º E - Intersecção de Planos em DPO

2006-10-24T23:44:00.000+02:00

Na resolução da intersecção de planos, pelo método geral, podemos utilizar como auxiliares quaisquer tipo de planos. É óbvio que a economia de traçado nos aconselha à utilização de planos projectantes - verticais, de topo, de nível e de frente - e, quando temos que recorrer a dois planos, a utilizar planos paralelos. Mas isto apenas porque, assim, racionalizamos o desenho tornando os traçados mais fáceis e legíveis.

Vejamos o caso da intersecção de dois planos de rampa. Neste caso apenas precisamos de determinar um ponto uma vez que sabemos que a recta só pode ser uma fronto-horizontal; conhecemos, portanto a sua direcção.
Utilizamos um plano de topo cuja intersecção - com alfa e beta - determinamos. A intersecção das duas rectas é um pontos da recta de intersecção dos planos, que assim fica definida.

Sugestão: resolva o mesmo problema utilizando como auxiliar um plano oblíquo q.q.

No segundo caso queremos determinar a intersecção de dois planos oblíquos. Utilizámos dois planos de nível como podíamos ter utilizado dois planos de frente. A vantagem destes planos sobre os outros planos projectantes (verticais ou de topo) é óbvia: as rectas resultantes são rectas notáveis dos planos que ficam determinadas com apenas um ponto; neste caso o seu traço vertical

Sugestão: resolva o mesmo problema utilizando como auxiliares:

planos de rampa;
planos de topo.

Até amanhã e bom trabalho.

11º E - Intersecção de Planos 2 (continuação)

2006-10-24T23:30:00.000+02:00

Se para determinarmos a recta necessitarmos de dois pontos, apenas temos que repetir o processo utilizando um segundo plano auxiliar; na figura seguinte utilizámos o próprio palno da base do modelo; as rectas u e v determinam, pela sua intersecção, o segundo ponto necessário.

Com os dois pontos determinados a recta fica definida

No próximo posting vamos ver a aplicação do método em DPO (para os distraídos Dupla Projecção Ortogonal).

11º E - Intersecção de Planos 1

2006-10-24T19:39:00.000+02:00

A intersecção de dois planos, quando os traços se intersectam nos limites do desenho, é um problema de resolução imediata já que a recta de intersecção fica definida pelos seus traços - ou seja, pela intersecção dos traços dos planos.

Porém, quando tal não acontece como nos casos da figura - temos que recorrer à determinação dos pontos necessários - 1 se conhecermos a direcção da recta, 2 se não a conhecermos; para a resolução deste problema existe um método geral que se baseia no recurso a planos auxiliares e no facto de a intersecção de três planos ser um ponto que lhes é comum como se evidencia na figura seguinte.

As três rectas - r, t e u - que resultam da intersecção dos planos concorrem no ponto I que também lhes pertence.

Com base neste facto desenvolve-se o método. Assim:

- Se, por conhecermos a orientação da recta, necessitamos dum só ponto utilizamos um único plano auxiliar. Como na figura em que gama é o plano a que recorremos como auxiliar:

Veja-se que as rectas r e t - que resultam da intersecção de alfa com gama e beta com gama - concorrem em I que é comum aos planos alfa e beta e que, por isso, tem que pertencer à recta da sua intersecção.

(Mais logo publica-se o restante)

Atenção 11ºE

2006-10-23T23:53:00.000+02:00

Atenção Anais, Mariana e Liliana, começámos hoje a rever a intersecção de planos. Amanhã publico a matéria dada.
Se estiverem doentes, desejo-vos rápidas melhoras.

2006-10-19T19:05:00.000+02:00

Para os que não foram à aula de hoje, a aplicação referente ao pentágono é a seguinte:
-representar as projecções dum pentágono regular, de rampa q.q., sabendo que a diagonal AC pertence ao traço horizontal do plano; ou seja numa posição como a que se apresenta em esquiço.
É para partir a tola mas não muito....

Triângulo de rebatimento - exemplo em DPO

2006-10-19T18:20:00.000+02:00

Conforme prometido cá vai!

Representação dum losango pertencente a um plano de rampa; conhecemos dois vértices da diagonal maior e a dimensão da diagonal menor; neste caso os vértices pertencem aos traços do plano.

Dados os vértices podemos determinar o traço do plano que queremos como charneira (o outro traço é acessório)

Escolhido o rebatimento no PHP, A pertence à charneira pelo que A1 coincide com o rebatimento de A; para rebater C determinamos a verdadeira grandeza do raio do rebatimento - hipotenusa do triângulo;

Transportada a hipotenusa temos C rebatido; definida a diagonal em v.g. podemos, já que conhecemos a dimensão da diagonal menor, desenhar a v.g. do losango

A inversão do rebatimento é simples; aqui exemplifica-se com o contra-rebatimento de B (notar que as hipotenusas são todas paralelas)

A inversão do rebatimento de B e D permitem-nos a representação das projecções do losango.

Sejam felizes e resolvam as aplicações que se enunciaram na aula de hoje.

Nota: a solução do pentágono com os dois vértices no traço do plano de rampa tem direito a prémio.

10 F - Condições de definição da recta e ponto da recta

2006-10-19T18:02:00.000+02:00

Para não esquecer a aula de hoje:

uma recta está definida se conhecermos:

- dois pontos da recta; no modelo os pontos P e R;

- um ponto e a direcção da recta.

se um ponto pertence a uma recta então as projecções do ponto pertencem às projecções da recta; o que equivale a dizer que se conhecermos dois pontos da recta as projecções desta ficam definidas pelas projecções dos pontos;

Para resolver no fim-de-semana:

1- Sendo a recta r definida por A(-14; -1; 5) e B(-18; 5; 1):

- representar a recta pelas suas projecções e determinar os seguintes pontos da recta:

R de abcissa - 12;

S de cota 3;

T de afastamento 0.

Já agora quem descobre o ponto da recta que pertence ao beta2,4 ?

Bom trabalho.

Triângulo de Rebatimento - no espaço

2006-10-19T00:58:00.000+02:00

(Modelo de Aula)

1- No rebatimento de P, o plano vai rodar em torno do seu traço - a charneira do rebatimento - até ficar coincidente com o Plano de Projecção; o ponto descreve no espaço um arco de circunferância que está contido num plano perpendicular a alfa e ao Plano de Projecção; este raio é, por isso, sempre perpendicular à charneira; em projecção o raio não está em v.g. pelo que não podemos determinar, directamente, Pr; vejamos como determinar essa v.g.;

2 - Visto, deste ângulo, o modelo mostra-nos o triângulo definido pelo Ponto (P), pela sua projecção (P1) e pelo raio do rebatimento (perpendicular à charneira) - este é o triângulo de rebatimento;

3 - Se rebatermos o triangulo - que está contido num plano projectante - sobre o Plano de Projecção vamos obter a v.g. do raio do rebatimento; para isso basta-nos rebater o ponto P, rebatendo o plano projectante; note-se que ambos os catetos evidenciam a sua perpendicularidade ao traço do plano projectante e à charneira; por isso, P1Pr1 é paralelo à charneira enquanto o traço do plano projectante lhe é perpendicular; a hipotenusa, raio do rebatimento, está agora em v.g.;

4 - Para obtermos o rebatimento do ponto basta-nos transportar essa v.g. para o próprio raio rebatido - que vimos em 1 - e que aqui está definido pela recta perpendicular à charneira definida por P1Pr;

Como podem ver - fácil e bonito!

Amanhã publica-se o rebatimento em dupla projecção ortogonal.

11ºF Rectas dos Planos

2006-10-11T23:36:00.000+02:00

Esta é para o Jorge Lemos

As rectas de nível (ou horizontais) e de frente (ou frontais) dos planos são rectas "notáveis".
Este modelo - que estudámos hoje na aula - permite-nos verificar:

- que as rectas de nível - como a recta n - são paralelas ao traço horizontal do plano já que este também é uma recta de nível (de cota 0); estas rectas são lugares geométricos dos pontos do Plano com uma determinada cota;

- que as rectas de frente - como a recta f - são paralelas ao traço vertical (ou frontal) do plano já que este também é uma recta de frente (de afastamento 0); estas rectas são lugares geométricos dos pontos do Plano com um determinado afastamento;

Podemos, por isso, utilizar estas rectas para a determinação de qualquer ponto do Plano, de afastamento e cota dados.

2006-10-11T23:31:00.000+02:00

Olá Samuel
A ordem é X(abcissa), Y(afastamento) e Z(cota)
Bom trabalho e até amanhã.

11ºE Revisões - Definição do Plano

2006-10-11T02:18:00.000+02:00

(Modelo da Aula)

1- Os Planos ficam definidos por três pontos - A, B e C;

2 - Com os três pontos podemos definir:

2-1 - as rectas r e t, paralelas - em alfa;

2-2 - as rectas a e b, concorrentes - em beta

Aplicações para o 10ºF

2006-10-10T18:41:00.000+02:00

Desenhe as projecções dos seguintes pontos:A (0; 4; - 2); B (1; 0; -4);
C ( 2; - 3; 1) ; D (3; 2; 5); E (4; 5; -5 ); F (5; -4; 0); G ( 6; - 1·, 5);
H (7; - 3; -3); I(-1; - 3; -3); J (-2; O; 5); L (-3; -2; -5); M (-4; 4; 0);
N(-5; -5; 1); O (-6; -2; 2); P (-7; 6; 2); Q ( -8; 1; -5) e indique para cada um deles a sua posição relativa aos Planos de Projecção.

11ºC/12ºA Lembrete da aula de 6ª feira

2006-10-08T23:32:00.000+02:00

(Modelo da aula)
Intersecção da recta com o plano. Quando não tem solução directa usamos um método geral simples.
1- Definimos um plano que contenha a recta, de preferência um plano projectante;
2- Determinamos a intersecção dos dois planos;
3- O ponto de intersecção da recta com o plano fica definido pela intersecção das duas rectas.

2006-09-25T00:41:00.000+02:00

Este é um espaço de apoio aos alunos de Geometria Descritiva da Esc. Sec. Rafael Bordalo Pinheiro.
Para além de questões e aplicações que possam ampliar a práctica da GD para além das aulas é, também, um espaço para o esclarecimento de dúvidas, de partilha de informação e, porque não, de convívio.
Vai ter um início lento mas, não duvido, vai acelerar não tarda ...