segunda-feira, outubro 30, 2006

11ºE - Aula de hoje


Como pediram, um resumo da aula de hoje

Intersecção da recta com o plano
Como vimos, a determinação do ponto de intersecção de r com alfa não tem solução directa em DPO quando o plano não é projectante.

Utilizamos, por isso, um método geral de resolução que consiste em considerar um qualquer plano que contenha a recta; determinamos a recta de intersecção dos dois planos (o que eu penso que já sabemos fazer muito bem, como se provará no próximo teste); a intersecção das duas rectas define o ponto

Claro que não vamos utilizar um plano qualquer como auxiliar; a economia dos traçados aconselha-nos o recurso a planos projectantes da recta; no exemplo da aula ... um plano de topo

Para o feriado, a minha oferta do "pão-por-Deus":

Determine a intersecção de r e alfa sendo:

  • r definida por A(0; 5; 6) e B(-3; 1; 3) e perpendicular a alfa;
  • alfa a que pertence N(6; 0; 0)

sábado, outubro 28, 2006

11C/12A Parabéns ao Bruno

Então e não é que o Bruno Silva ganhou mesmo o pequeno almoço?!
Resolveu, brilhantemente, o problema proposto e não foi nada somítico pois optou, como bom fanático da GD que começa a ser, por um octógono.
Viva o Bruno!
O Zé Diogo esteve perto. Apresentou uma solução correcta mas.... distraiu-se e considerou que a diagonal era de maior declive. Para a próxima palpita-me que vai estar mais atento...

Bom fim-de-semana

quinta-feira, outubro 26, 2006

Atenção 10ºF

Como a Protecção Civil previne para a continuação do mau tempo, o melhor é ficarem em casa durante o fim-de-semana a praticar o estudo da recta. Como, por exemplo:

Represente pelas suas projecções e faça o estudo das rectas:

  • a, definida por A(0; -1; 5), B(-4; -3; 1);
  • b, C(-4; -3; 7), D(-7; -3; 2)
  • c, E(5; 6; -2), F(1; -1; -2).

Bom trabalho.

11ºC/12ºA Rebatimentos sobre planos de nível ou de frente

Para os que hoje não foram à aula ... mais um "petisco" para treino:

Determinar pelas suas projecções um pentágono regular (aceitam-se todas as variantes - hexágonos, heptágonos, octógonos ou eneágonos -que os fanáticos queiram apresentar). Dados, os que quiserem desde que:

  • considerem que apenas conhecem do polígono uma diagonal (sejam generosos e façam-na com pelo menos 5cm em projecção) e desde que esta, sendo oblíqua, seja de maior inclinação do plano.

Divirtam-se e até amanhã.

P.S: - Quem amanhã se apresentar em aula (às 8:20, claro) com o problema resolvido tem direito a pequeno almoço (continental) no bar.

11ºC/12A - Exercício do Hexágono

Lembrando os dados: pedia-se a representação dum hexágono regular pertencente a um plano oblíquo perpendicular ao beta,24 - dado por dois pontos - e do qual se dá: o lado com 4cm; os vértices A e B que pertencem ao PHP e o vértice C que pertence ao PVP.



Traçado o plano optou-se por fazer o seu rebatimento sobre o PHP; como o vértice C pertence ao traço vertical do plano temos que rebatê-lo, rebatendo V;

Para representarmos o hexágono (em v.g.) podíamos recorrer a diferentes técnicas:

  • os que possuem esquadros com transferidor fá-lo-iam deslizar com 120º ao longo da charneira até determinarem C;
  • podia construir-se um triângulo equilátero nas condições do hexágono e tomar graficamente a medida do apótema, ou;
  • aplicar os conhecimentos de trigonometria (como vêem uma poderosa ferramenta) e determinar a mesma medida já que OM é igual a AM x tg60 (aprox. 1,73) o que daria 3,46;

Construído o hexágono procedemos à inversão do rebatimento;

Ponto por ponto ...


Até ao agradável resultado final. (Uff...)

quarta-feira, outubro 25, 2006

Atenção - Atelier de Geometria

Para os mais distraídos e para que não hajam desculpas, o horário do Atelier de Geometria (para apoio dos que têm dificuldades ou dos que querem ir para o 20 (valentes) é o seguinte:

  • 2ª Feira - das 15:15 às 17:00
  • 4ª Feira - das 08:20 às 09:50
  • 6ª Feira - das 10:10 às 11:45

10º F - Estudo da Recta

Para não esquecer a aula de hoje.


Fazer o estudo da recta é verificar o seu percurso no espaço. Neste caso, que abordámos hoje na aula, podemos verificar que a recta - "lendo" da esquerda para a direita - passa pelos 4º, 3º, 2º, 1º, 8º e 7º Octantes.

Reparem que podemos "ler" a mudança de octante pelos pontos de passagem pelos betas e pelos Planos de Projecção.

Como vimos estes pontos - traços da recta nesses planos - são pontos característicos - notáveis - da recta. Assim:

  • O traço no beta2,4 (Ir) é o ponto que tem cota e afastamento iguais - em valor absoluto - mas, de acordo com o Diedro, se uma coordenada é positiva a outra é negativa. São, por isso, pontos cujas projecções são coincidentes;
  • O traço no PVP (Vr) é o ponto de afastamento 0 da recta;
  • O traço em beta1,3 (Qr) é o ponto que tem cota e afastamento iguais - em valor absoluto - mas, de acordo com o Diedro, as coordenadas ou são ambas positivas ou ambas negativas. São, por isso, pontos cujas projecções são simétricas;
  • O traço no PHP (Hr) é o ponto de cota 0 da recta.

Sugestão de trabalho até à próxima aula: tentar fazer o estudo das rectas representadas na aula de hoje.

Quem conseguir (sem ajuda) descobrir um processo fácil de determinar Qr tem direito a prémio.

Bom trabalho.

terça-feira, outubro 24, 2006

11º E - Intersecção de Planos em DPO

Na resolução da intersecção de planos, pelo método geral, podemos utilizar como auxiliares quaisquer tipo de planos. É óbvio que a economia de traçado nos aconselha à utilização de planos projectantes - verticais, de topo, de nível e de frente - e, quando temos que recorrer a dois planos, a utilizar planos paralelos. Mas isto apenas porque, assim, racionalizamos o desenho tornando os traçados mais fáceis e legíveis.

Vejamos o caso da intersecção de dois planos de rampa. Neste caso apenas precisamos de determinar um ponto uma vez que sabemos que a recta só pode ser uma fronto-horizontal; conhecemos, portanto a sua direcção.
Utilizamos um plano de topo cuja intersecção - com alfa e beta - determinamos. A intersecção das duas rectas é um pontos da recta de intersecção dos planos, que assim fica definida.


Sugestão: resolva o mesmo problema utilizando como auxiliar um plano oblíquo q.q.

No segundo caso queremos determinar a intersecção de dois planos oblíquos. Utilizámos dois planos de nível como podíamos ter utilizado dois planos de frente. A vantagem destes planos sobre os outros planos projectantes (verticais ou de topo) é óbvia: as rectas resultantes são rectas notáveis dos planos que ficam determinadas com apenas um ponto; neste caso o seu traço vertical





Sugestão: resolva o mesmo problema utilizando como auxiliares:

  1. planos de rampa;
  2. planos de topo.

Até amanhã e bom trabalho.

11º E - Intersecção de Planos 2 (continuação)

Se para determinarmos a recta necessitarmos de dois pontos, apenas temos que repetir o processo utilizando um segundo plano auxiliar; na figura seguinte utilizámos o próprio palno da base do modelo; as rectas u e v determinam, pela sua intersecção, o segundo ponto necessário.



Com os dois pontos determinados a recta fica definida



No próximo posting vamos ver a aplicação do método em DPO (para os distraídos Dupla Projecção Ortogonal).

11º E - Intersecção de Planos 1


A intersecção de dois planos, quando os traços se intersectam nos limites do desenho, é um problema de resolução imediata já que a recta de intersecção fica definida pelos seus traços - ou seja, pela intersecção dos traços dos planos.

Porém, quando tal não acontece como nos casos da figura - temos que recorrer à determinação dos pontos necessários - 1 se conhecermos a direcção da recta, 2 se não a conhecermos; para a resolução deste problema existe um método geral que se baseia no recurso a planos auxiliares e no facto de a intersecção de três planos ser um ponto que lhes é comum como se evidencia na figura seguinte.


As três rectas - r, t e u - que resultam da intersecção dos planos concorrem no ponto I que também lhes pertence.

Com base neste facto desenvolve-se o método. Assim:

- Se, por conhecermos a orientação da recta, necessitamos dum só ponto utilizamos um único plano auxiliar. Como na figura em que gama é o plano a que recorremos como auxiliar:


Veja-se que as rectas r e t - que resultam da intersecção de alfa com gama e beta com gama - concorrem em I que é comum aos planos alfa e beta e que, por isso, tem que pertencer à recta da sua intersecção.

(Mais logo publica-se o restante)

segunda-feira, outubro 23, 2006

Atenção 11ºE

Atenção Anais, Mariana e Liliana, começámos hoje a rever a intersecção de planos. Amanhã publico a matéria dada.
Se estiverem doentes, desejo-vos rápidas melhoras.

quinta-feira, outubro 19, 2006


Para os que não foram à aula de hoje, a aplicação referente ao pentágono é a seguinte:
-representar as projecções dum pentágono regular, de rampa q.q., sabendo que a diagonal AC pertence ao traço horizontal do plano; ou seja numa posição como a que se apresenta em esquiço.
É para partir a tola mas não muito....

Triângulo de rebatimento - exemplo em DPO

Conforme prometido cá vai!

Representação dum losango pertencente a um plano de rampa; conhecemos dois vértices da diagonal maior e a dimensão da diagonal menor; neste caso os vértices pertencem aos traços do plano.



Dados os vértices podemos determinar o traço do plano que queremos como charneira (o outro traço é acessório)


Escolhido o rebatimento no PHP, A pertence à charneira pelo que A1 coincide com o rebatimento de A; para rebater C determinamos a verdadeira grandeza do raio do rebatimento - hipotenusa do triângulo;



Transportada a hipotenusa temos C rebatido; definida a diagonal em v.g. podemos, já que conhecemos a dimensão da diagonal menor, desenhar a v.g. do losango

A inversão do rebatimento é simples; aqui exemplifica-se com o contra-rebatimento de B (notar que as hipotenusas são todas paralelas)




A inversão do rebatimento de B e D permitem-nos a representação das projecções do losango.

Sejam felizes e resolvam as aplicações que se enunciaram na aula de hoje.

Nota: a solução do pentágono com os dois vértices no traço do plano de rampa tem direito a prémio.

10 F - Condições de definição da recta e ponto da recta


Para não esquecer a aula de hoje:
  • uma recta está definida se conhecermos:

- dois pontos da recta; no modelo os pontos P e R;

- um ponto e a direcção da recta.

  • se um ponto pertence a uma recta então as projecções do ponto pertencem às projecções da recta; o que equivale a dizer que se conhecermos dois pontos da recta as projecções desta ficam definidas pelas projecções dos pontos;

Para resolver no fim-de-semana:

1- Sendo a recta r definida por A(-14; -1; 5) e B(-18; 5; 1):

- representar a recta pelas suas projecções e determinar os seguintes pontos da recta:

R de abcissa - 12;

S de cota 3;

T de afastamento 0.

Já agora quem descobre o ponto da recta que pertence ao beta2,4 ?

Bom trabalho.

Triângulo de Rebatimento - no espaço


(Modelo de Aula)

1- No rebatimento de P, o plano vai rodar em torno do seu traço - a charneira do rebatimento - até ficar coincidente com o Plano de Projecção; o ponto descreve no espaço um arco de circunferância que está contido num plano perpendicular a alfa e ao Plano de Projecção; este raio é, por isso, sempre perpendicular à charneira; em projecção o raio não está em v.g. pelo que não podemos determinar, directamente, Pr; vejamos como determinar essa v.g.;





2 - Visto, deste ângulo, o modelo mostra-nos o triângulo definido pelo Ponto (P), pela sua projecção (P1) e pelo raio do rebatimento (perpendicular à charneira) - este é o triângulo de rebatimento;








3 - Se rebatermos o triangulo - que está contido num plano projectante - sobre o Plano de Projecção vamos obter a v.g. do raio do rebatimento; para isso basta-nos rebater o ponto P, rebatendo o plano projectante; note-se que ambos os catetos evidenciam a sua perpendicularidade ao traço do plano projectante e à charneira; por isso, P1Pr1 é paralelo à charneira enquanto o traço do plano projectante lhe é perpendicular; a hipotenusa, raio do rebatimento, está agora em v.g.;




4 - Para obtermos o rebatimento do ponto basta-nos transportar essa v.g. para o próprio raio rebatido - que vimos em 1 - e que aqui está definido pela recta perpendicular à charneira definida por P1Pr;

Como podem ver - fácil e bonito!









Amanhã publica-se o rebatimento em dupla projecção ortogonal.

quarta-feira, outubro 11, 2006

11ºF Rectas dos Planos

Esta é para o Jorge Lemos

As rectas de nível (ou horizontais) e de frente (ou frontais) dos planos são rectas "notáveis".
Este modelo - que estudámos hoje na aula - permite-nos verificar:

- que as rectas de nível - como a recta n - são paralelas ao traço horizontal do plano já que este também é uma recta de nível (de cota 0); estas rectas são lugares geométricos dos pontos do Plano com uma determinada cota;

- que as rectas de frente - como a recta f - são paralelas ao traço vertical (ou frontal) do plano já que este também é uma recta de frente (de afastamento 0); estas rectas são lugares geométricos dos pontos do Plano com um determinado afastamento;

Podemos, por isso, utilizar estas rectas para a determinação de qualquer ponto do Plano, de afastamento e cota dados.

Olá Samuel
A ordem é X(abcissa), Y(afastamento) e Z(cota)
Bom trabalho e até amanhã.

11ºE Revisões - Definição do Plano

(Modelo da Aula)

1- Os Planos ficam definidos por três pontos - A, B e C;

2 - Com os três pontos podemos definir:

2-1 - as rectas r e t, paralelas - em alfa;

2-2 - as rectas a e b, concorrentes - em beta

terça-feira, outubro 10, 2006

Aplicações para o 10ºF

Desenhe as projecções dos seguintes pontos:A (0; 4; - 2); B (1; 0; -4);
C ( 2; - 3; 1) ; D (3; 2; 5); E (4; 5; -5 ); F (5; -4; 0); G ( 6; - 1·, 5);
H (7; - 3; -3); I(-1; - 3; -3); J (-2; O; 5); L (-3; -2; -5); M (-4; 4; 0);
N(-5; -5; 1); O (-6; -2; 2); P (-7; 6; 2); Q ( -8; 1; -5) e indique para cada um deles a sua posição relativa aos Planos de Projecção.

domingo, outubro 08, 2006

11ºC/12ºA Lembrete da aula de 6ª feira



(Modelo da aula)
Intersecção da recta com o plano. Quando não tem solução directa usamos um método geral simples.
1- Definimos um plano que contenha a recta, de preferência um plano projectante;
2- Determinamos a intersecção dos dois planos;
3- O ponto de intersecção da recta com o plano fica definido pela intersecção das duas rectas.

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